batman-curve2
Μα το φάντασμα του Leibniz, ο Μπάτμαν!!! Τον τελευταίο καιρό κυκλοφορεί μια συνάρτηση, η οποία ισχυρίζονται πως όταν την σχεδιάσεις σου δίνει το γνωστό λογότυπο του Μπάτμαν.

Καταρχάς, να πούμε αυτή η συνάρτηση αυτή δεν προκύπτει από την επίλυση κάποιας (έστω και λίγο) χρήσιμης σχέσης, αλλά σχεδιάστηκε από κάποιον με στόχο η γραφική της παράσταση να έχει τη συγκεκριμένη μορφή.

Πάμε λίγο στα πιο τεχνικά! Πρόκειται για μια εξίσωση της μορφής f(x, y) = 0, η οποία επιλύεται στο σύνολο των μιγαδικών \mathbb{C} και σχεδιάζεται για πραγματικές τιμές των x, y.  Η συνάρτηση f προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό 6 διαφορετικών συνιστωσών.

Καθεμία από τις συνιστώσες είναι μια στοιχειώδης καμπύλη – ευθεία κατάλληλα τροποιημένη με κάποιο “τρικ” έτσι ώστε να αποκοπεί ένα μέρος της γραφικής παράστασης. Το “τρικ” αυτό βασίζεται στην χρήση ριζών και απολύτων:

    \[ \displaystyle \sqrt{\frac{\left | x-c \right |}{x-c}}=\left\{\begin{matrix} 1 & x\geqslant c \\ imaginary & x<c \end{matrix}\right \]

Έτσι διασφαλίζουμε πως στην γραφική παράσταση θα είναι ορατό το τμήμα με x\geqslant c.

Συνιστώσα 1η: Άκρες φτερών

Η πρώτη ύλη μας είναι η έλλειψη \displaystyle \left( \frac{x}{7} \right)^{2} + \left( \frac{y}{3} \right)^{2} - 1 = 0.

batman-curve-segment1a

Για το λογότυπο, όμως, μας ενδιαφέρουν τα τμήματα όπου \left | x \right | >3 και y > -3\sqrt{33}/7.
Χρησιμοποιώντας το παραπάνω “τρικ”, δημιουργούμε την ζητούμενη καμπύλη με την εξίσωση \displaystyle C_{1} : \left( \frac{x}{7} \right)^{2}\sqrt{\frac{\left| \left| x \right|-3 \right|}{\left| x \right|-3}} + \left( \frac{y}{3} \right)^{2}\sqrt{\frac{\left| y+3\frac{\sqrt{33}}{7} \right|}{y+3\frac{\sqrt{33}}{7}}} - 1 = 0.

batman-curve-segment1b

Συνιστώσα 2η: Κάτω μέρος φτερών

Η 2η συνιστώσα αποτελείται από δύο ξεχωριστές καμπύλες.  Η μία καμπύλη είναι μια παραβολή στο θετικό ημιάξονα x που έχει ανακλαστεί πάνω στον άξονα {y}'y.

    \[ \displaystyle C_{2\alpha} : y = \left| \frac{x}{2} \right| - \frac{\left( 3\sqrt{33}-7 \right)}{112}x^{2} - 3 \]

batman-curve-segment2a

Η άλλη καμπύλη είναι τα 4 πάνω ημισφαίρια κύκλων.

    \[ \displaystyle C_{2\beta} : y = \sqrt{1-\left( \left| \left| x \right|-2 \right|-1 \right)^{2}} \]

batman-curve-segment2b

Κατόπιν προσθέτουμε τις C_{2\alpha} και C_{2\beta} και προκύπτει η 2η συνιστώσα.

    \[ \displaystyle C_{2} : \left| \frac{x}{2} \right|\; -\; \frac{\left( 3\sqrt{33}-7 \right)}{112}x^{2}\; -\; 3\; +\; \sqrt{1-\left( \left| \left| x \right|-2 \right|-1 \right)^{2}}-y=0 \]

batman-curve-segment2c

Συνιστώσα 3η και 4η: Αυτιά

Τα αυτιά δημιουργούνται από δύο καμπύλες. Η πρώτη σχηματίζει τις 2 εξωτερικές γραμμές και η δεύτερη τις 2 εσωτερικές γραμμές.
Η 3η είναι το ζεύγος των  ευθειών y = 9 - 8|x| με τιμές στην περιοχή 0.75 < \left | x \right | < 1.

    \[ \displaystyle C_{3} : 9\sqrt{\frac{\left( \left| \left( 1-\left| x \right| \right)\left( \left| x \right|-0.75 \right) \right| \right)}{\left( 1-\left| x \right| \right)\left( \left| x \right|-0.75 \right)}}\; -\; 8\left| x \right|\; -\; y\; =\; 0 \]

batman-curve-segment3

Παρόμοια, η 4η είναι το ζεύγος των ευθειών y = 3|x| + 0.75 με τιμές στην περιοχή 0.5 < |x| < 0.75.

    \[ \displaystyle C_{4} : 3\left| x \right|\; +\; 0.75\sqrt{\left( \frac{\left| \left(0.75-\left| x \right| \right)\left( \left| x \right|-0.5 \right) \right|}{\left(0 .75-\left| x \right| \right)\left( \left| x \right|-0.5 \right)} \right)}\; -\; y\; =\; 0 \]

batman-curve-segment4

Συνιστώσα 5η: Κεφάλι

Το κεφάλι δημιουργείται από την γραμμή y=2.25 με τιμές στην περιοχή |x| < 0.5.

    \[ \displaystyle C_{5} : 2.25\sqrt{\frac{\left| \left( 0.5-x \right)\left( x+0.5 \right) \right|}{\left( 0.5-x \right)\left( x+0.5 \right)}}\; -\; y\; =\; 0 \]

batman-curve-segment5

Συνιστώσα 6η: Πάνω μέρος φτερών

Η τελευταία συνιστώσα σχηματίζει το πάνω μέρος των φτερών και δίνεται από την εξίσωση:

    \[ C_{6} : \begin{matrix} \frac{6\sqrt{10}}{7}\; +\; \left( 1.5\; -\; .5\left| x \right| \right)\sqrt{\frac{\left| \left| x \right|-1 \right|}{\left| x \right|-1}}\; -\; \\ \frac{\left( 6\sqrt{10} \right)}{14}\sqrt{4-\left( \left| x \right|-1 \right)^{2}}\; -\; y\; =\; 0 \end{matrix} \]

batman-curve-segment6

Και τώρα ήρθε η μεγάλη ώρα!! Η τελική εξίσωση προκύπτει ως C_{1} * C_{2} * C_{3} * C_{4} * C_{5} * C_{6} = 0.

batman-curve-full

Και να το πολυπόθητο αποτέλεσμα! Σίγουρα ένα εγχείρημα αντάξιο του μεγαλείου του Μπάτμαν!!

Υ.Γ. Καλή Χρονιά και Καλή μας αρχή!!!