Αυτό μπορεί να είναι το πιο περίεργο ντόνατ που έχετε δει ποτέ, αλλά λύνει ένα μακροχρόνιο γεωμετρικό γρίφο που ταλαιπώρησε μαθηματικούς όπως ο νομπελίστας John Nash, ο οποίος ενέπνευσε την ταινία A Beautiful Mind.

Η Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τις γεωμετρικές παραμορφώσεις των αντικειμένων. Σύμφωνα με τις αρχές της, ένας συγκεκριμένος τύπος επίπεδου τετραγώνου (στον οποίο οι απέναντι ακμές έχουν ενωθεί μαθηματικά) είναι ισοδύναμος με ένα τρύπιο ντόνατ, ή τόρο, διότι το ένα μπορεί εύκολα να μετατραπεί στο άλλο. Αρχικά, δημιουργείς έναν κύλινδρο ενώνοντας την πάνω ακμή του τετραγώνου με την κάτω και κατόπιν καμπυλώνεις αυτόν τον κύλινδρο ώστε να γίνει κύκλος ενώνοντας τις δύο ανοιχτές βάσεις του.

Υπάρχει όμως ένα πρόβλημα. Για να ενωθούν οι δύο βάσεις, ο τόρος πρέπει να τεντωθεί κατά τρόπο που παραμορφώνει το αρχικό σχήμα του τετραγώνου. Οι οριζόντιες ακμές του αρχικού τετραγώνου θα τεντωθούν στον τόρο, ενώ οι κάθετες θα παραμείνουν ως έχουν. Αυτό το πρόβλημα είναι παρόμοιο με εκείνο που συναντούν οι χαρτογράφοι όταν “ξετυλίγουν” μια σφαιρική απεικόνιση της Γης ώστε να δημιουργήσουν επίπεδους χάρτες. Για να το επιτύχουν αναγκάζονται να κάνουν συμβιβασμούς όπως διογκώνοντας το μέγεθος της Γροιλανδίας, που μπορεί να απεικονίζεται ισομεγέθης με την Αφρική σε κάποιους χάρτες αλλά στην πραγματικότητα είναι το 1/14 του μεγέθους της Αφρικής.

Μοριακό ντόνατ

Αλλά μπορεί να υπάρξει ένας εναλλακτικός τόρος που αφήνει ανεπηρέαστες τις οριζόντιες και κάθετες ακμές του τετραγώνου;  Στα 1950, ο John Nash, που ασχολούταν με την θεωρία παιγνίων και ήταν και οικονομολόγος, μαζί με τον μαθηματικό Nicolaas Kuiper, απέδειξαν ότι ένας τέτοιος τόρος θα μπορούσε να υπάρξει.

Παρόλαυτα, οι μέθοδοί τους λειτουργούσαν μόνο σε μια μικροσκοπική κλίμακα, καθιστώντας υπερβολικά δύσκολο το να οπτικοποιήσουν ουσιαστικά το σχήμα. Ως αποτέλεσμα, κανείς δεν ήξερε πως θα έμοιαζε.

Είναι σαν να περιγράφεις μια συνταγή μαγειρικής στο μοριακό επίπεδο.

αναφέρει ο Francis Lazarus του Πανεπιστημίου της Γκρενόμπλ στη Γαλλία.

Σήμερα, ο Lazarus και μια ομάδα μαθηματικών από την Γκρενόμπλ και από το Πανεπιστήμιο της Λυών κατάφεραν να οπτικοποιήσουν το σχήμα του εν λόγω τόρου.  Αρχίζοντας από μια συρρικνωμένη έκδοση του κανονικού, λείου τόρου, “ζάρωσαν” την επιφάνεια κατά την οριζόντια διεύθυνση, αυξάνοντας το μήκος μόνο των κάθετων ακμών (του αρχικού τετραγώνου).

3D Εκτύπωση

Κατόπιν, εφάρμοσαν περισσότερες “ρυτίδες” και σε άλλες διευθύνσεις έως ότου τα μήκη τόσο των κάθετων όσο και των οριζόντιων ακμών ήταν ίσα με τα μήκη των ακμών του τετραγώνου. Το αποτέλεσμα είναι ένας περίεργος τόρος.

Δεν μοιάζει και πολύ με τετράγωνο, αλλά ένα τετράγωνο μπορεί να μετατραπεί σε αυτόν τον τόρο!

Αυτή η μέθοδος “ζαρώματος” είναι γνωστή ως Θεωρία Κυρτής Ολοκλήρωσης (Convex Integration Theory). Ο Lazarus αναφέρει:

Μέχρι σήμερα, οι άνθρωποι πίστευαν πως πρόκειται για μια ιδιαίτερα περίπλοκη τεχνική. Αυτή η δουλειά αποδεικνύει πως μπορείς ουσιαστικά να την χρησιμοποιήσεις.

Υποστηρίζει ότι η θεωρία θα μπορούσε σήμερα να εφαρμοστεί στην επίλυση περίπλοκων συστημάτων εξισώσεων που ανακύπτουν από προβλήματα στην φυσική και την βιολογία. Εν τω μεταξύ, αυτός και οι συνεργάτες του σχεδιάζουν να φέρουν το περίεργο σχήμα τους στον κόσμο χρησιμοποιώντας έναν 3D εκτυπωτή.

Πηγή
NewScientist (Jacob Aron)

Παραπομπές
[1] Proceedings of the National Academy of Sciences, DOI: 10.1073/pnas.1118478109 (Μετάβαση)
[2] Hevea Project: The Folder (Μετάβαση)